고1 수학의 다양한 분야에서의 구체적인 쓰임새

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🔷복소수 i -대수학기본정리, 복소전력에서의 자기장 표현

허수 i의 쓰임새는 정말 많지만 여기서는 간단히 2가지만 소개하고자 한다.

1) 대수학의 기본정리

수학을 떠받치는 큰 기둥 중 하나인 '대수학' 분야에는 '대수학의 기본정리'라는 영광스러운 이름을 가진 정리가 존재한다. 유명할수록 내용은 오히려 간단한 법이다. 대수학 기본정리의 내용은 간단하다. "복소수 범위에서 n차 방정식은 n개의 해를 갖는다"는 것이다. 이 아름다운 내용은 실수 범위에서는 성립하지 않는다. 예를 들어 x^2 + 1 = 0이라는 이차방정식은 실수 범위에서는 근을 갖지 않는다. 그러나 신기하게도 복소수 범위에서는 +i, -i 와 같이 정확히 방정식 차수와 같은 개수의 근을 갖는다. 이것이 '대수학의 기본정리'이다. 이 기본정리가 성립함으로서 복소수범위에서 기본정리를 이용하여 많은 다양한 수학적 내용을 추론해 낼 수 있다.(대학 과정이라 생략). 다시 말해서, 허수가 없다면 대수학의 기본정리도 없고 기본정리로부터 얻어지는 많은 소중한 수학적 내용을 얻을 수 없게 된다.


2) 복소전력에서의 전기장, 자기장 표현

복소전력 분야에서는 시간에 따른 전기장, 자기장의 변화를 함수로 나타내어야 한다. 그런데 전기장, 자기장은 크기(진폭) 뿐 아니라 방향(위상)도 가지는 양이다. 수보다는 벡터에 가깝다 할 수 있겠다. 대학 과정이라 설명하기 어렵지만 결론부터 이야기하면, 허수 i를 이용하면 시간에 따른 '크기' 변화 뿐 아니라 '위상(방향)' 변화까지 함께 나타낼 수 있다. 이를 위해 복소전력에서는 허수 i를 빌려다 쓴다. 예를 들어 아래는 시각t에 따른 자기장 변화를 나타내는 함수이다.


보다시피 자기장을 나타내는 양이 실수부분과 허수부분으로 분리되어 나타남을 알 수 있다. 대학 과정이라 자세히 소개하기 힘들지만 실수부분은 실수축 방향을, 허수부분은 허수축 방향을 뜻한다.

🔷고차방정식을 이용한 산업디자인 (베지어곡선)
준비중

🔷경제...연립일차부등식
준비중

🔷선형회귀에서 손실함수의 최적화 - 이차함수 최대, 최소
준비중

🔷경제학에서의 평행이동 - 수요(공급)곡선의 이동, IS-LM 모델
경제학의 수요(공급) 곡선의 이동에서는 고1 수학에서 배우는 도형의 방정식 특히 직선의 평행이동을 찾아볼 수 있다. 아래 그래프는 1학년 전공도서 'Principle of Economics(Mankiw)'의 수요(공급)곡선 이동을 설명하는 그래프이다. 수요가 증가하면 수요곡선이 x축의 양의 방향으로 평행이동함을 볼 수 있다.


내가 대학에서 국제경제학을 복수전공하며 배운 것 중 가장 흥미로웠던 수학적 경제 모델은 IS-LM모델이었다. IS-LM모델은 시장의 밖 특히 금리 인상이나 세금 감면과 같은 정책적 변화에 따른 시장의 균형의 변화를 살펴볼 수 있는 모델이다. 이 모델은 도형의 이동 뿐 아니라 직선의 방정식의 경제학에서의 쓰임새 또한 관찰할 수 있다. 이 게시판에 적기에는 다소 복잡하여 링크를 걸어두니 관심있는 학생은 직접 확인 바란다.
➡️IS-LM 모델 다뤄보기

🔷서버 운영에서 알아보는 경우의 수(순열, 조합) 쓰임새


PC 통신 방식에서 순열, 조합의 쓰임새를 확인할 수 있다. 만약 서버 없이 10개의 개인PC간에 통신을 하려면 통신 연결 횟수는 아래와 같다.
(10개 PC 간 통신 연결 횟수) = (10개 중 2개 선택하는 경우의 수) * 2 = 10C2*2 = 90


그런데 이러한 방식은 게임과 같이 수만 명의 유저가 동시 접속해야 하는 통신에는 부적합하다. 그래서 이러한 통신의 경우 유저들 사이에 공동 PC역할을 하는 서버가 필요하다. 그러면 통신 연결 횟수는 아래와 같다.
(메인 서버를 통한 10개 PC의 통신 연결 횟수) = (각 개인 PC와 서버를 연결해야 하는 횟수) = 10 * 2 = 20

따라서 서버가 있을 때 통신의 효율성이 대폭 증가하는 것을 볼 수 있다. 이렇게 조합의 개념을 이용하여 통신에 있어서의 서버의 필요성을 확인할 수 있다.


🔷클라우드 서버 트래픽 분산에 쓰이는 합성함수

합성함수의 쓰임새는 정말 다양하다. 여기서는 트래픽 초과 방지 방법에서의 합성함수의 역할을 알아보고자 한다.

클라우드 서버에 데이터를 저장하는 경우 보통 여러 개의 데이터센터 중 하나에 저장하는 방식으로 분산 저장하게 된다. 예를 들어 아래와 같이 3개의 데이터센터 중 한 곳에 나의 데이터를 저장한다고 하자.



이 경우 데이터센터1이 가장 선두에 나와 있기 때문에 유저들은 무의식적으로 다른 데이터센터보다 데이터센터1을 선택할 확률이 높고 그러면 데이터센터1에 트래픽이 몰리게 된다.



그래서 가운데 가용영역을 두는 방법이 있다. 유저마다 가용영역(Availability Zone. 이하 AZ)이 서로 다른 데이터센터에 연결되도록 설정해 두면 유저들이 임의로 AZ-1을 고르더라도 하나의 데이터센터에 트래픽이 몰리지 않는다. (아래 그림 참조)



이처럼 유저집합 -> 가용영역집합 -> 데이터센터집합 으로의 합성함수를 통해 트래픽을 분산시키는 기능을 수행할 수 있다. (가용영역 집합에서 데이터센터 집합으로의 대응은 반드시 일대일 대응이어야 하는 것을 눈치챘는가? 실제로 개발자들은 이러한 종류의 경우의 수를 세어 시스템의 효율 개선에 이용하곤 한다.)