(생각의 힘) (수학I) 사인법칙, 코사인법칙으로 삼각형을 풀기

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사인법칙, 코사인법칙을 배우는 가장 중요한 이유는 삼각형에서 변의 길이나 내각의 크기를 구하기 위해서이다.

하지만 모든 상황에서 항상 변의 길이나 내각의 크기를 구할 수 있다는 뜻은 아니다. 예를 들어 아래와 같이 한 내각의 크기와 한 변의 크기만 주어진 상황에서 나머지 변의 길이 x의 값을 구하는 상황을 생각해 보자.




하지만 이렇게 정보가 적으면 삼각형은 하나로 결정되지 않는다. x의 값은 여러 가지 값이 가능하다.

중학교 때, 삼각형의 결정조건을 배웠을 것이다. 삼각형이 하나로 결정되기 위한 조건은 아래와 같이 3가지가 있다.

삼각형의 결정조건

1) SAS : 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우
2) ASA : 한 변의 길이와 양끝각의 크기가 주어진 경우
3) SSS : 세 변의 길이가 주어진 경우

위에서 본 삼각형은 세 조건 중 어디에도 해당하지 않아 삼각형이 하나로 결정되지 않는다.

한편, 고2 수학I에서 배우는 사인법칙, 코사인법칙을 이용하면 삼각형이 하나로 결정되는 상황에서 실제로 나머지 변의 길이나 각의 크기를 구할 수 있다. 예를 들어 위 삼각형에서 아래와 같이 나머지 한 변의 길이를 추가하여 삼각형이 하나로 결정되는 조건을 만들어 보자.




그러면 실제로 코사인법칙을 이용하여 드디어 x의 값을 구할 수 있게 된다.

이와 같이 삼각형의 결정조건을 만족하면 사인법칙, 코사인법칙을 적절히 활용하여 나머지 변의 길이, 내각의 크기를 모두 구할 수 있는데 그 과정을 정리하면 아래와 같이 정리할 수 있다.

예를 들어 SAS조건에서 사인법칙을 이용하면 나머지 내각의 크기를 하나 더 구할 수 있는데 이를 SSAA, 그리고 삼각형의 두 내각의 크기를 알면 삼각형의 내각의 크기 총 합이 180도임을 이용하여 나머지 내각의 크기도 마저 구할 수 있으므로 이를 SSAAA와 같이 표시해 나갈 수 있다.





이와 같이 삼각형이 하나로 결정될 때 변의 길이 3개, 내각의 크기 3개를 모두 구하는 과정을 "삼각형을 푼다."라고 하는데, 정리하면 사인법칙, 코사인법칙은
삼각형을 푸는 해법에 해당한다고 할 수 있겠다.