(생각의 힘) (고1) 다항식 파악하기

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친구와 스무고개를 한다고 하자. 친구가 머릿속에 떠올린 것이 무엇인지 알기 위해 여러분은 딱 20가지 질문만 할 수 있다. 질문의 개수가 한정되어 있으므로 질문을 신중하게 선택하여야 한다. 보통 거시적인 질문에서 점점 미시적인 것 순서로 물어보기 마련이다. 따라서 첫번째 질문은 보통 "생물체인가?", "(생물체라면) 사람인가?", "(사람이면) 산 사람인가?"와 같이 거시적인 질문이 된다.

수학에서 다항식을 파악하는 것 또한 마찬가지이다. 미지의 다항식 p(x)가 있을 때 p(x)를 구체적으로 파악하기 위해 (질문 스무개는 너무 많고) 딱 3가지만 물어볼 수 있다고 하자. 가장 먼저 어떤 질문을 던지는 것이 가장 효과적일까?

몇 차식인가 하는 것이 다항식에 있어서는 가장 거시적인 질문이라 할 수 있겠다. 차수가 같은 다항식끼리는 많은 공통점이 존재한다. 예를 들어 일차식은 모두 기울기가 일정하다는 공통점이 있다. 모든 삼차식 p(x)은 함수 y=p(x)의 그래프가 특정한 한 점에 대해 대해 점대칭이라는 공통점이 존재한다. 각 자리의 계수가 얼마인지하는 구체적인 수치는 차수에 비하면 그렇게 중요하지 않다.


보통은 아래와 같이 1) 차수, 2) 최고차항 계수, 3) 인수 순서로 파악해 나가는 것이 일반적이다. 꼭 기억해 두자.

미지의 다항식 p(x) 파악하기 순서

1) 차수
2) 최고차항 계수
3) 인수 (예: x-3을 인수로 갖는다.)

실제로 아래와 같이 차수가 같고 최고차항의 계수가 모두 양수인 삼차식 대부분이 함수 그래프로 표현했을 때 비슷한 그래프를 갖는 것을 볼 수 있다. (항상 성립하는 것은 아니지만..)



이러한 접근 방식은 문제를 풀 때 정말 자주, 그리고 유용하게 쓰인다. 심지어 고1 수학에 국한되지 않고 고2 때 배우는 수학II에서도 계속 등장하는 유용한 내용이다. 일단 아래에서는 이를 이용하여 고1 교과서 문제를 하나 풀어보도록 하자.



이는 비상교과서 1학년 수학에 실린 한 문제이다. 다항식의 나눗셈으로 풀어도 되지만 다항식을 추론하는 방식으로 접근해 보자.
구하고자 하는 다항식을 p(x)라 하자.
위에서 배운대로 먼저 다항식 p(x)의 차수를 파악하면 2차식임을 쉽게 알 수 있다.
그리고 무엇을 알아야 하더라? 그렇다. 최고차항 계수를 파악해야 한다. A=BQ+R 식을 써 보면 p(x)의 최고차항의 계수가 1이 되어야 함을 쉽게 알 수 있다. 따라서 p(x)는 아래와 같이 둘 수 있다.



이를 바탕으로 x에 관한 항등식을 세우면 아래와 같다.



미정계수법을 이용해서 a,b의 값을 구하면 끝이다.


실제로 이 과정은 'n차 다항식'을 'n차 함수'로 치환하여 고2 수학II에 그대로 다시 나오는데 수능에서 n차 함수식을 파악하는 과정에 더욱 더 자주 쓰인다. 1)차수, 2) 최고차항 계수, 3) 인수 꼴로 다항식(또는 함수식)을 파악해 나가는 과정을 1학년 때부터 잘 다져 놓으면 수능 칠 때까지 요긴하게 쓸 수 있을 것이다.