(생각의 힘) (수학I) 코사인법칙을 쓰면 안 되는 상황

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수업 시간에 내가 "코사인법칙은 어려워지려면 한없이 어려워질 수 있다."고 하였다. 오늘은 이러한 경우를 살펴 보고자 한다.

먼저 복습을 해 보자. 코사인법칙은 언제 적용해야 하는가? 내가 수업 시간에 안내한 대로라면 삼각형의 세 변 길이와 임의의 한 내각의 크기 중 3가지 값이 주어질 때 나머지 1개의 값을 구하는 상황이다. 공식이 아래와 같이 생겼기 때문에 a, b, c, A 중 3개가 주어지면 나머지 1개를 구할 수 있다.



그런데 아래와 같은 문제를 생각해 보자. (수학I 비상교과서 중단원학습점검)



사인법칙을 통해 변의 길이 a,b를 구하여 그림을 그리면 아래와 같은 상황이 되는데,



여기서 각C의 값이 75도라 각C가 포함된 코사인법칙을 쓸 수 없어 각A를 포함한 코사인법칙을 쓰면 아래와 같다.



이를 정리하면 c에 대한 이차방정식이 될 것을 충분히 예상할 수 있다. 그런데 삼각형ABC는 삼각형결정조건 SAS를 만족하므로 하나의 삼각형으로 결정되기 때문에 c값은 반드시 하나가 되어야 한다. 즉, 방금 얻은 c에 관한 이차방정식이 중근을 가지지 않는 이상 두 실근 중 해가 아닌 한 값을 제외해야 하는 번거로운 과정을 거쳐야 한다.

이 과정은 아주 번거롭다. 이 문제 풀이영상을 아래와 같이 첨부하니, 제거과정을 직접 보기 바란다.(풀이1, 풀이2 중 풀이1에 해당.)

(클릭) 풀이과정 보러 가기(13:20부터 보면 됨)

따라서 이와 같이 코사인법칙을 적용하였을 때 미지수에 관한 이차방정식을 얻게 된다면 이 문제는 코사인법칙을 쓰면 안 되는 상황이라고 정리할 수 있겠다.

그러면 코사인법칙을 쓰지 않고 어떻게 풀어야 하는지는 위 영상의 [풀이2]를 참고하도록 하자.


이처럼 수학 문제해결에는 "어떻게 풀어야 하는가"도 중요하지만 "어떻게 풀면 안되는가"도 매우 중요하다. 한 문제를 풀 때 깊이있게 고민하여 왜 이렇게 풀면 되는지(안 되는지)에 대해 본인이 스스로 근거를 찾고 잘 정리하여 공부하는 습관을 기르길 바란다.