수학 시험 출제 유의사항

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수학 시험을 시중 문제집에서 가져오지 않고 직접 만들어 내는 편이다. 일단 학생들이 배운 데서 시험 문제를 내는게 공정하다고 생각하는 편이라서 수업시간에 다룬 교과서만 보고 응용해서 문제를 만들어 출제하는 편이다.

그래서 시험 때마다 늘 불안하다. 문제집에서 이미 검수를 마친 문제를 가져오면 걱정이 덜할텐데 내가 만든 문제는 내가 미처 발견하지 못한 오류가 있을까봐서다.

아래는 그간 직접 내신문제를 만들면서 겪었던 실수들, 보고 들은 실수들, 선배교사 어깨너머로 배운 것들을 정리한 것이다. 누군가에게 도움이 되길 바라며 정리해본다.

참고 : 스마트폰에서 보는 데 최적화되어 있습니다. 가급적 스마트폰으로 봐 주세요.


------식 관련 ------

# 인수분해가 더 되는 경우
: 인수분해한 것을 고르는 문제에서 정답에 해당하는 식이 사실 한번 더 인수분해 가능한 경우. 예를 들어 정답이 아래 식이라 하자. 아래 식의 두번째 인수는 사실 한 번 더 인수분해 가능하다.


# 상수 미표기
: 상수 a,b의 값을 구하라는 문제에서 a,b의 상수 조건을 빼 먹으면 답이 여러 가지가 되는 경우가 많다. a,b자리에 상수 뿐 아니라 변수를 포함한 식이 들어가도 정답이 되게 할 수 있기 때문이다. 예를 들어 아래 문제에서 a,b의 상수 조건없이 'a, b를 구하여라.'라고 했다면 a = 2, b = -x-10 도 답이 된다. (출처 : 비상교과서_미적분_92쪽)



# 실수 미표기

: 미지수의 실수 조건을 빼 먹는 경우 답이 여러가지가 되어버리는 경우이다. '서로 같은 두 복소수(두 복소수가 서로 같을 조건)'에 의해 a, b와 같은 미지수의 값을 구하는 문제에서는 복소수의 실수부분, 허수부분이 반드시 실수가 되어야 한다. 따라서 실수 조건을 누락하면 '서로 같은 두 복소수(두 복소수가 서로 같을 조건)'을 이용할 수 없다. 예를 들어 아래 문제에서 a,b의 실수 조건이 없으면 답이 다양해진다.


------개수------

# 중복을 제외하지 않은 경우
: 개수를 구하라는 문제는 아주 조심해야 한다. 정답이 되는 것들끼리 중복되는 경우가 있을 수도 있고 빼먹은 게 있을 수도 있기 때문이다. 아래 문제를 보자.


이 문제의 경우, 문제 일부를 가려서 직접 풀 수 없겠지만, a와 c의 자리가 바뀌어도 관계 없다는 것을 눈치챌 수 있다. a, c 자리를 구별한 답을 원한다면 '다항식 개수' 가 아닌 '순서쌍 (a,b,c)의 개수'를 물어야 한다.

출제오류까지는 아니지만 어쨋든 개수를 묻는 시험문제를 출제 후 꼼꼼히 정답을 하나하나 나열해보고 중복되어 같아져버리는 것은 없는지 확인이 필요하다.

# 빠트린 경우
: 반대로 빠트린 것은 없는지도 꼼꼼히 보아야 한다. 예시 준비중.


------언어적표현------

# 이내
: 언어적으로 의미가 모호한 경우를 조심해야 한다. 예를 들어 '이내'는 국어적으로 '미만'을 뜻하는지 '이하'를 뜻하는지 모호한 단어이다. 따라서 아래와 같이 수학 문제에 쓰일 경우 '이내'를 어떻게 해석하느냐에 따라 문제의 정답이 달라질 수도 있다. (출처 : 차펭귄)


# 영역 내
: 이 경우도 마찬가지로 '영역 내'의 범위에 경계값이 포함되는지를 어떻게 해석하느냐에 따라 정답이 달라질 수 있다. 예를 들어 아래 문제의 경우 이차함수 그래프와 x축 사이 영역의 격자점 개수라 하면 경계에 있는 점도 세어야 하는지 모호하다. 아래는 9월 모의고사 기출문제인데 평가원에서 헷갈리지 않도록 명확히 제시했던 문제이다. (출처 : 2014년 9월 학력평가기출)



# '있는대로' 대신 '모두'를 사용한 경우

아래 문제를 풀어 보자.



참인 것은 ㄱ,ㄴ이다. 따라서 2번이 정답이다. 그런데 발문을'모두'라고 하면 오답도 택했지만 어쨋든 정답 ㄱ,ㄴ을 모두 고른 5번 ㄱ,ㄴ,ㄷ 역시 옳은 것을 모두 고른 선지로서 정답이 될 수도 있다고 한다.

국어교사가 아니라서 잘 모르겠는데 이 문제는 '모두'를 '있는대로'로 바꾸면 해결된다고 한다. 그래서 처음 이 문제가 불거진 이후로 발문이 '있는대로'로 모두 바뀌었다.



# '각각' 미표기

아래 문제를 보자.



여기서 '각각'이라는 단어가 빠지면 어떻게 될까? x축과의 교점이 C, y축과의 교점이 B라고 두고 푼 학생의 답을 오답이라고 할 수 있을까? 이는 정답 시비로도 이어질 수 있다.

다행히 이 문제의 경우 '각각'이라는 단어를 명시하여 혼동이 없게 했을 뿐 아니라, B,C의 순서를 헷갈려도 관계 없도록 삼각형ABC의 넓이를 묻고 있다. 실제로 '각각'이 들어간 경우 순서 헷갈려도 문제를 푸는 데 지장없도록 주로 넓이를 묻거나 B,C의 위치가 대칭적인 문제가 거의 대부분이다.


------답,선지 관련------

# 답이 여러가지가 가능한 경우
:복수정답이 일어날 수 있는 경우는 매우 다양하다. 여기서는 한 가지 예를 들면 다음과 같다. 허수 i에 대해 복소수 a+bi를 구하고 a+b의 값을 구해야 하는 문제에서, a,b의 실수 조건이 없는 경우 a+b의 값은 다양하게 나올 수 있다. 이 경우처럼 '서로 같은 두 복소수' 뿐 아니라 '서로 같은 두 실수', '서로 같은 두 유리수' 조건을 이용하는 모든 경우를 조심해야 한다.

# 단, p,q는 서로소인 자연수

위와 비슷한 유형이긴 한데 따로 빼 내서 설명하려고 한다. 아래 문제를 보자.



구한 답이 예를 들어 p = 2, q = 3 이라고 하자. 그러면 넓이는 2루트3 / 3 이라는 뜻이고, 교사가 의도한 답은 p+q = 5일 것이다. 하지만 넓이가 2루트3 / 3이 되게 하는 p,q에는 p = 4, q = 6도 있다. 약분하면 어차피 매한가지이기 때문. 따라서 p+q값으로 10도 가능하다. 그래서 답이 여러 개가 될 수 있다.

따라서 아래와 같이 서로소 조건이나 또는 그에 준하는 조건을 달아서, 답이 유일하게 되도록 해야 한다.




# 문제 풀기전에도 알수 있는 오답이 선지로 들어간 경우
: 예를 들어 아래 문제의 경우 소수는 2 이상의 자연수이므로 선지 1,2,3번은 당연히 답이 될 수 없음을 알 수 있다. 심지어 '서로 다른' 조건이 붙었으므로 선지 4번도 불가능하다.




# 보기끼리 글자크기 다른 경우



위 문제의 경우 미세하게 4번째 선지의 수식 크기가 다른 것들보다 살짝 크다. 이런 것은 컴퓨터 화면상에서는 잘 확인하기 어렵고 보통 인쇄했을 때 보이곤 한다. 단순 편집 실수이지만 학생들의 판단력에 영향을 끼칠 수 있다. 실제로 내가 근무하던 옛날 학교에서 시험 전날 이를 발견하여 시험지를 재인쇄했던 적이 있다.


# 1~5번 중 특정 선지가 너무 없거나 너무 많은 경우

아래와 같은 경우 출제 오류는 아니지만 지양해야 할 출제 패턴이다.

- 선지 1~5번 중 정답이 한 번호에 유난히 몰려 있는 경우

- 선택형 마지막 문제(보통 최고점,난이도 상)를 풀 때 이전 문제들의 정답 개수를 통해 마지막 문제의 정답을 유추할 수 있는 경우 (예: 1~9번까지 선지 1,2,3,4가 각각 2개, 선지 5만 1개라면 10번 문제는 선지 5번인가? 할 수 있음.)

- 선지 1~5번 중 특정 번호 정답이 하나도 없는 경우. (예: 선지3번이 정답인 문제가 하나도 없는 경우)

------그래프------

# 좌표평면 밖 그래프가 어떻게 그려지느냐에 따라 답이 달라지는 경우
: 아래 문제의 경우 선지3번에서 불연속점의 개수를 묻고 있다. 이 문제의 경우 원래 '구간 (-1,7)에서'라는 조건이 없었다. 그런데 그 조건이 없으면 범위는 곧 '실수전체'가 된다. 주어진 좌표평면 밖에서 그래프가 추가적으로 어떻게 그려질지 모르기 때문에 실수전체에서 불연속점이 이 그림에 나와 있는 게 전부라고 할 수 없다. 그래서 '구간 (-1,7)에서' 와 같이 조건을 추가하여 x값의 범위를 제한해주어야 올바른 문제가 된다. (출처 : 차펭귄)



# 그래프가 해당 점을 실제로 지나지 않는 경우
: 흔한 오류다. 예를 들어 아래와 같은 그래프를 갖는 삼차함수에 관한 문제라 하자. 그런데 아래와 같이 (-1,3), (1,-1)을 극점으로 가지면서 점 (0,2)를 지나는 삼차함수는 실제로 존재하지 않는다. 시험문제를 다 출제하고 나면 그래프들이 실제로 그림에 주어진 점을 지나는지 한 번 검토해 보아야 한다.


# 두 그래프가 실제로 만나는(만나지않는) 경우
: 위 경우와 비슷하다. 식까지 주어진 두 함수의 그래프가 실제로 만나지 않는데 만나는 그림을 제시하거나 또는 그 반대인 경우이다. 내가 있던 학교에서 이걸로 재시험 친 경우가 있었다.


# 발문영역이 모호한 경우
준비중

# 문제대로 그래프 그린 것이 문제에 제시된 그래프와 다른 경우
준비중

# 점선은 축에 평행함 미표기(직각 미표기)
준비중

------도형------

# 도형이 실재하지 않는 경우 - 모서리 길이 합, 부피가 주어진 직육면체

아래 문제는 교과서 문제를 갖고 숫자를 바꾼 것인데 한 번 풀어보자.



답이 1번 2루트2가 나왔는가? 그런데 이 문제는 오류이다. 실제로 저런 직육면체는 존재하지 않기 때문이다.

wolfram alpha에 문제에 주어진 조건을 입력하고 해를 구해 보았더니 아래와 같이 'no solution'이라고 뜬다. 주어진 조건을 만족하는 양수 a,b,c는 없다는 뜻이다.



한편 원래 교과서 문제대로 겉넓이를 4로 고쳐 ab+bc+ca의 값이 2가 되도록 고치니까 아래와 같이 명백히 해가 존재한다. 교과서 문제는 오류가 없다는 뜻.






숫자를 함부로 바꾸면 안 되는 예에 해당하겠다.



# 넓이나 부피가 음수가 나오는 경우?
준비